Derivadas de Funciones Potencia Raiz Cuadrada: FUNCIÓN DE RAIZ CUADRADA

FUNCIÓN DE RAIZ CUADRADA

La raíz cuadrada permite definir una función real sobre los números no negativos, para cada número real x esta función se define como el único número no negativo y que elevado al cuadrado es igual a x. Consiste en hallar el número del que se conoce su cuadrado. La función raíz cuadrada de x se expresa equivalente de las siguientes maneras

Usualmente la raíz cuadrada de un número entero no es un número racional a menos que el número entero sea un cuadrado perfecto, como por ejemplo:

$\sqrt{16} = 4, \quad \sqrt{64} = 8, \quad \sqrt{144} = 12$

ya que:

$16 = 4\times 4 = 4^2, \quad 64 = 8\times 8 = 8^2, \quad 144 = 12\times 12 = 12^2$

El descubrimiento de que la raíz cuadrada de muchos números era un número irracional se atribuye a los pitagóricos. Los babilonios y egipcios ya disponían de medios de estimar numéricamente la raíz cuadrada, pero su interés parece haber sido eminentemente práctico por lo que no parecen existir referencias sobre la naturaleza de la raíz cuadrada y el problema de si esta podía ser expresada como cociente de dos números enteros.

Propiedades generales

La función raíz cuadrada $f(x) = \sqrt{x}$ es una función cuyo dominio e imagen es el conjunto $\left[0,\infty\right)$ (el conjunto de todos los números reales no negativos). Esta función regresa un valor que es único. Las siguientes propiedades de la raíz cuadrada son válidas para todos los números reales no negativos x, y:

$\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$

La función raíz cuadrada, en general, transforma números racionales en números algebraicos; $\sqrt x$ es racional si y sólo si $x\,$ es un número racional que puede escribirse como fracción de dos cuadrados perfectos. Si el denominador es $1^2 = 1\,$ , entonces se trata de un número natural. Sin embargo, $\sqrt 2$ es irracional.

La interpretación geométrica es que la función raíz cuadrada transforma la superficie de un cuadrado en la longitud de su lado.

Contrariamente a la creencia popular, $\sqrt{x^2}$ no necesariamente es igual a $x$ . La igualdad se mantiene sólo para los números no negativos $x$ , pero cuando $x < 0$ , $\sqrt{x^2}$ es un número positivo, y entonces $\sqrt{x^2} = -x$ . Por lo tanto, $\sqrt{x^2} = \left|x\right|$ para todos los números reales $x$ (véase valor absoluto).

Suponga que $x$ y $a$ son números reales, y que $x^2 = a$ , y se desea encontrar $x$ . Un error muy común es "tomar la raíz cuadrada" y deducir que $x = \sqrt a$ . Esto es incorrecto, porque la raíz cuadrada de $x^2$ no es $x$ , sino el valor absoluto $\left| x \right|$ , una de las reglas descritas anteriormente. Luego entonces, todo lo que se puede concluir es que $\left| x \right| = \sqrt a$ , o equivalentemente $x = \pm\sqrt a$ .

En cálculo, cuando se prueba que la función raíz cuadrada es continua o derivable, o cuando se calculan ciertos límites, la siguiente igualdad es muy útil (consiste en multiplicar y dividir por el conjugado, véase Binomio conjugado):

$\sqrt x - \sqrt y = \frac{x-y}{\sqrt x + \sqrt y}$

y es válida para todos los números no negativos $x$ e $y$ que no sean ambos cero.

La función $\sqrt x$ es continua para todos los números no negativos $x,$ y derivable para todos los números positivos $x$ (no es derivable para $x=0$ ya que la pendiente de la tangente ahí es ∞). Su derivada está dada por

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}$

Las Series de Taylor de $\sqrt{x+1}$ en torno a $x=0$ se pueden encontrar usando el Teorema del binomio:

$\sqrt{x+1}\,\!$	$= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)n!^2 4^n}x^n$
	$= 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots$
converge para $\left\| x \right\| < 1$ .

Irracionalidad de las raíces cuadradas

Una propiedad importante de la raíz cuadrada de los números enteros es que, si estos no son cuadrados perfectos, sus raíces son siempre números irracionales, que son números no expresables como el cociente de dos números enteros. Es decir, la raíz cuadrada de un número entero siempre será entero o irracional, nunca un número racional.

Cualquier número entero puede ser expresado como el producto de una serie de factores primos elevados a diversos exponentes. De ser todos pares, las propiedades de la potenciación permiten reducir la raíz a un número natural. Sólo si uno o más de los factores tiene un exponente impar la raíz no es natural.

Si $\sqrt n$ fuera racional se debería poder expresar como $\frac{p}{q}$ con p, q enteros y primos entre sí. Elevando al cuadrado ambas partes se obtiene que $n = \frac{p^2}{q^2}$ , lo que es absurdo, pues a un lado queda al menos un factor primo con exponente impar mientras que, al otro lado de la igualdad, tanto $p^2$ como $q^2$ se expresan en función de producto de primos elevados a exponentes necesariamente pares.

Por una reducción al absurdo llegaron los pitagóricos a la demostración de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2, atribuida a Hipaso de Metaponto, un discípulo de Pitágoras. La idea, contraria a lo esperado en la matemática de entonces, supuso la denominada crisis de los inconmensurables de la filosofía pitagórica.

No obstante, es exactamente la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 1, siendo fácil la construcción gráfica de la raíz. Por ello buena parte de la matemática helénica se centró en la geometría aplicada como forma de calcular gráficamente valores como ése. Teodoro de Cirene llegó a la espiral que lleva su nombre, que permite representar gráficamente cualquier raíz, y posteriormente Euclides llegó a un método más general.

Radicales jerarquizados cuadrados

La identidad $2=\sqrt{2+2}$ implica que $2=\sqrt{2+\sqrt{2+2}}$ , y por repeticiones sucesivas:

$2=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}$

Por razones análogas se obtiene:

$3=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}}$ ;

o que

$4=\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\cdots}}}}$ ;

Si r es una entidad estrictamente superior a uno,

$r =\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\cdots}}}}$

Esta forma de expresar números mediante la repetición sucesiva de números contenidos dentro de raíces cuadradas puede tener diversas aplicaciones como la resolución de algunos tipos de ecuación o la expresión de algunos números famosos como el número áureo o el número pi.